Correzione compito in classe

classe IV, febbraio 2004

  1. Risolvi l'equazione sin5x = cosx – sin3x. 
    sin5x + sin3x = cosx



 applicando l'appropriata formula di prostaferesi 
2sin(4x)·cos(x)=cos(x)
cosx(x)·(2sin(4x)-1) = 0
cos(x)=0 vel sin(4x)=1/2
x=π/2+kπ  vel (4x=π/6+2kπ vel 4x=5π/6+2kπ)
x=π/2+kπ  vel x=π/24+kπ/2 vel x=5π/24+kπ/2
  2. Risolvi la disequazione 
    


  
        	quando cosx ≠ sinx, cioè per x ≠ π/4+kπ,
cos(x)–sin(x)+cos(x) > 1
2·cos(x)+sin(x) > 1 
		posto X=cos(x) e Y=sin(x)




		la cui rappresentazione grafica è 

		Con la calcolatrice grafico-simbolica 
		si può ottenere anche
solve(x^+y^2=1|y=-2x+1,x)
			x=4/5 or x=0
		quindi
-π/2+2kπ < x < cos-1(4/5)+2kπ
  3. Risolvi la disequazione 
    		L'espressione a numeratore si può riscrivere
3(1–cos(2x))/2 – (1+cos(2x))/2)
		ovvero
1 – 2cos(2x)
		e sarà positiva per
cos(2x) < 1/2
		cioè
π/3+2kπ < 2x < 2π-π/3+2kπ
		cioè
π/6+kπ < x < 5π/6+kπ

    		L'espressione a denominatore è del tipo
2y²-3y+1
		nulla per y=(3±1)/4 = 1, 1/2
		positiva per
y < 1/2  vel  y > 1
		cioè
cos(x) < 1/2  vel  cos(x) > 1
		cioè
π/3+2kπ < x < 5π/3+2kπ

    cioè N/D £ 0  per 
–π/6+2kπ < x < π/3+2kπ
e anche per 5π/6+2kπ < x < 7π/6+2kπ
e anche per 5π/3+2kπ < x < 11π/6+2kπ
  4. Disegna il grafico della funzione y = 1–sin|x|+cos|x| a partire dal grafico di sinx utilizzando solo trasformazioni come traslazioni o dilatazioni lungo gli assi coordinati o simmetrie rispetto a questi. 
    		Per vedere innanzitutto che la funzione è una sinusoide
		riscriviamola:




		ovvero:
y = 1–Ö(2)·sin(|x|+π/4)
    Con la calcolatrice grafica:
  5. Il punto P si muove di un moto le cui componenti lungo gli assi del sistema di riferimento cartesiano sono moti armonici: . Determina l'equazione cartesiana della traiettoria. Descrivi in modo completo posizione, velocità e accelerazione di P negli istanti 0, π/4 e π. 
    		Si tratta delle equazioni paramentriche di un'ellisse:




		Da cui, per la relazione fontamentale della goniometria, l'equazione cartesiana




		Inoltre:




		e




		per cui

    

    
t(x,y)(vx,vy)(ax,ay)

    		

    0(1,2)(3,-6)(-9,-18)

    

    
π/4(0,-2Ö2)(-3Ö2,0)(0,18Ö2)

    

    	
π(-1,-2)(-3,6)(9,18)

    

    

    

    

Si può vedere graficamente la traiettoria e le velocità (muovere il punto T)







    

    

e si può vedere graficamente anche la traiettoria e le accelerazioni (muovere il punto T)
pagina di Roberto Ricci L.S. "A. Righi", Bologna. Ultima revisione